התשובה
בית כנסת פטור ממזוזה אם אין בו בית דירה לחזן וכד' (עי' תש' חת"ס יו"ד סי' רפא). ומצד זה נראה שבית הכנסת שלכם פטור.
אולם מצד שהוא גן ילדים נראה שהוא חייב. ומכיון שמזוזה היא חובת הדר נראה שעל המועצה המקומית (שהיא בא כח המשתמשים בגן) לקבוע מזוזות.