התשובה
פסק השולחן ערוך (אורח חיים סימן כא סעיף א):"חוטי ציצית שנפסקו, יכול לזרקן לאשפה, מפני שהיא מצוה שאין בגופה קדושה,...
ההעיר הרמ"א "וי"א דאף לאחר שנפסקו, אין לנהוג בהן מנהג בזיון לזורקן במקום מגונה, אלא שאינן צריכין גניזה (כל בו הלכות שבת). ויש מדקדקין (ח) לגונזן, והמחמיר ומדקדק במצות תע"ב) (מהרי"ל הלכות ציצית) (וע"ל סימן תרס"ד סעיף ח' ט')".
המשנה ברורה (ס"ק ו )הרחיב זאת אף לשאר תשמישי מצווה: "וכן בסכך הסוכה ולולב ושופר לאחר שנתבטלו ממצותן אין לזורקן לאשפה וכל כה"ג דבר שאינו כבוד למצוה שעברה וכתב הפמ"ג דנכון שלא לעשות תשמיש מגונה אפילו בדפנות הסוכה".
וכן כתב המשנה ברורה בסימן תרלח (ס"ק כד )"עוד כתבו דאף אחר סוכות לא יפסע על עצי סוכה דתשמישי מצוה הם כמו ציצית ולולב ועיין לעיל סימן כ"א במ"ב סק"ו וע"כ יש למחות באנשים שזורקין אחר סוכות עצי הסכך לחוץ במקום שרבים רגילין לפסוע עליהן ואפילו איננו מקום אשפה".
לכן נראה שאין להשליכם לאשפה שיש בכך ביזיון ולא במקום שידרכו עליו, אלא להניחם במקום שאין בו ביזיון או לשמור עד ערב פסח ולקיים בזה מצוות ביעור חמץ.